清華新聞網(wǎng)3月3日電 頂點(diǎn)算子代數(shù)為二維共形場(chǎng)論提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架，并與表示論、低維拓?fù)湟约傲孔游锢碛兄羁搪?lián)系。該領(lǐng)域的核心問(wèn)題之一，是判定一個(gè)頂點(diǎn)算子代數(shù)何時(shí)是“強(qiáng)有理”的——這一性質(zhì)保證了其表示范疇構(gòu)成一個(gè)模張量范疇（modular tensor category），而模張量范疇在拓?fù)淞孔訄?chǎng)論與拓?fù)淞孔佑?jì)算中具有重要應(yīng)用。
2月25日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心副教授羅伯特·麥克雷（Robert McRae）在《劍橋數(shù)學(xué)雜志》（Cambridge Journal of Mathematics）以“論C?-余有限頂點(diǎn)算子代數(shù)的有理性”（On rationality for C?-cofinite vertex operator algebras）為題發(fā)文，在頂點(diǎn)算子代數(shù)理論結(jié)構(gòu)方面取得重要突破，解決了若干長(zhǎng)期懸而未決的猜想，并提出了判定有理性的強(qiáng)有力新準(zhǔn)則。
該工作中，麥克雷研究了一類(lèi)重要的頂點(diǎn)算子代數(shù)——C?-余有限頂點(diǎn)算子代數(shù)。雖然C?-余有限性保證了某些有限性與解析性質(zhì)，但如何判定此類(lèi)代數(shù)的有理性，一直是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的難題。
麥克雷證明并獲得了三項(xiàng)成果。第一，研究證明了若一個(gè)單、自對(duì)偶、C?-余有限頂點(diǎn)算子代數(shù)的模范疇在張量意義下是剛性的，則該范疇自動(dòng)成為一個(gè)可分解有限帶狀范疇（factorizable finite ribbon category），即一個(gè)（可能非半單的）模張量范疇。在對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論背景下，這一結(jié)果部分驗(yàn)證了一個(gè)備受關(guān)注的結(jié)構(gòu)定理。
第二，研究建立了一個(gè)關(guān)于剛性的模性判據(jù)：若真空特征( vacuum character)在模S-變換下可以純粹表示為普通特征（ordinary character）的線(xiàn)性組合（不含偽跡項(xiàng)），則該模范疇是剛性的。這一結(jié)果將特征的模不變性與范疇對(duì)偶結(jié)構(gòu)緊密聯(lián)系起來(lái)。
第三，研究證明了若一個(gè)C?-余有限頂點(diǎn)算子代數(shù)的Zhu代數(shù)是半單的，則該頂點(diǎn)算子代數(shù)本身是有理的。這一結(jié)論提供了一個(gè)內(nèi)部可驗(yàn)證且操作性強(qiáng)的有理性判據(jù)，在許多具體情形下，大大簡(jiǎn)化了證明強(qiáng)有理性的過(guò)程。
上述理論成果的重要應(yīng)用之一，是解決了關(guān)于例外型仿射W-代數(shù)的Kac–Wakimoto–Arakawa猜想。此類(lèi)W-代數(shù)源自對(duì)可容許水平（admissible level）的仿射李代數(shù)頂點(diǎn)算子代數(shù)進(jìn)行量子Drinfeld–Sokolov約化而得到，在表示論與共形場(chǎng)論中占據(jù)核心地位。
結(jié)合近期關(guān)于相關(guān)Zhu代數(shù)半單性的研究成果，麥克雷的定理推出：所有C?-余有限的例外型仿射W-代數(shù)均為強(qiáng)有理。這一結(jié)果完成了一般情形猜想的證明。
論文還推進(jìn)了長(zhǎng)期存在的陪集代數(shù)（coset algebra）有理性問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)包含強(qiáng)有理子代數(shù)的強(qiáng)有理頂點(diǎn)算子代數(shù)，其對(duì)應(yīng)的陪集代數(shù)（或交換子代數(shù)）何時(shí)繼承有理性，一直尚不明確。麥克雷證明：若該陪集代數(shù)滿(mǎn)足C?-余有限條件，則其必為強(qiáng)有理。該結(jié)果將問(wèn)題歸結(jié)為驗(yàn)證C?-余有限性，從而澄清了此類(lèi)子結(jié)構(gòu)的有理性機(jī)制。
研究借助辮子張量范疇理論的圖形演算，得到了一個(gè)用于證明（范疇）剛性的關(guān)鍵恒等式
該工作融合了辮子張量范疇理論的高階技術(shù)與涉及虧格一相關(guān)函數(shù)和模變換的解析方法。通過(guò)將解析方法與范疇論工具相結(jié)合，論文統(tǒng)一了頂點(diǎn)算子代數(shù)研究中的多條理論路徑，并為有理與對(duì)數(shù)型共形場(chǎng)論的進(jìn)一步研究提供了新的技術(shù)手段。
清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心副教授羅伯特·麥克雷（Robert McRae）為論文唯一作者。
論文鏈接：
https://intlpress.com/JDetail/2026366315557601282
供稿：數(shù)學(xué)中心
編輯：李華山
審核：郭玲
