清華新聞網(wǎng)2月27日電 物理世界中的許多現(xiàn)象，例如氣體擴(kuò)散、流體運(yùn)動(dòng)，都是微觀(guān)粒子行為的宏觀(guān)表現(xiàn)，可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模嚴(yán)格地進(jìn)行理論推導(dǎo)。但在現(xiàn)實(shí)的微觀(guān)世界中，粒子是否真的會(huì)遵循某個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”公式而運(yùn)動(dòng)？又或是，無(wú)論如何建模，即使微觀(guān)機(jī)理出現(xiàn)了一些微擾，宏觀(guān)測(cè)量仍舊符合普適的規(guī)律？
近日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心顧陳琳助理教授團(tuán)隊(duì)合作在粒子系統(tǒng)宏觀(guān)研究領(lǐng)域取得重要突破，研究成果以“非梯度排他過(guò)程的定量均質(zhì)化與流體力學(xué)極限”（Quantitative Homogenization and Hydrodynamic Limit of Nongradient Exclusion Process）為題，于1月31日發(fā)表于《理論與應(yīng)用數(shù)學(xué)通訊》（Communications on Pure and Applied Mathematics，CPAM）。
論文對(duì)一大類(lèi)格點(diǎn)上的粒子系統(tǒng)展開(kāi)討論，證明了其宏觀(guān)行為由統(tǒng)一的流體力學(xué)極限方程刻畫(huà)，并首次給出了這類(lèi)一般粒子系統(tǒng)到極限的收斂速度。論文將斯科特·阿姆斯特朗（Scott Armstrong）、圖奧莫·庫(kù)西（Tuomo Kuusi）、讓-克里斯托夫·穆拉（Jean-Christophe Mourrat）與查爾斯·斯馬特（Charles Smart）發(fā)展的重整化方法（renormalization）運(yùn)用于這類(lèi)粒子系統(tǒng)，首先證明了宏觀(guān)物理量擴(kuò)散率的均質(zhì)化（homogenization），之后，結(jié)論被加強(qiáng)到正則系綜，從而和經(jīng)典的相對(duì)熵方法（relative entropy）相契合。
研究過(guò)程中，研究團(tuán)隊(duì)面臨的主要挑戰(zhàn)是格點(diǎn)上粒子數(shù)的硬核約束。均質(zhì)化理論指向一個(gè)常系數(shù)的拉普拉斯（Laplace）算子，但即便微觀(guān)機(jī)理最簡(jiǎn)單的常數(shù)率對(duì)稱(chēng)排他過(guò)程，其生成元的正則性也和Laplace算子有所區(qū)別。為此，論文結(jié)合了計(jì)算數(shù)學(xué)中的“粗粒化”方法，以及代數(shù)拓?fù)渲小坝成涮嵘钡乃枷耄岢隽恕按至；?映射提升”（coarse-grained lifting）的概念，利用更大空間中的自由粒子來(lái)表示排他過(guò)程中的泛函，由此克服粒子互斥、維數(shù)災(zāi)難等核心難點(diǎn)。值得一提的是，即使當(dāng)粒子交互作用中存在無(wú)序（disorder）擾動(dòng)，研究團(tuán)隊(duì)發(fā)展出的新方法同樣適用，由此揭示了物理現(xiàn)象的普適性。
排他過(guò)程（圖左）與無(wú)粒子數(shù)約束的自由粒子（圖右）示意圖；后者到前者存在自然的映射提升
清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授顧陳琳為論文通訊作者，求真書(shū)院首屆“數(shù)學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃”學(xué)生王涵（2025進(jìn)入研究生階段學(xué)習(xí)）、北京雁棲湖應(yīng)用數(shù)學(xué)研究院研究員舟木直久（Tadahisa Funaki）與顧陳琳為論文共同作者。
論文鏈接：
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.70034
供稿：數(shù)學(xué)中心
編輯：李華山
審核：郭玲
